Szerző
Ketskeméty László
Mini Projekt ID
BMEMPBEER2
Leírás
A bizottság hosszú mérlegelés és számítások eredményeként egy tiszta matematikai modellt állít fel a termelési programra.
A probléma matematikai modellje és a megoldása mi lesz?
Szektor
VET
Adat
A 2.1-ben elérhető
Modell
Geometriai módszer, szimplex módszer.
Számolás
A tervezési terv elkészítésekor jelölje x1, x2, x3 rendre az egyes termékekből legyártandó mennyiségeket hordónként. x1 a világos, x2 a barna, x3 a maláta-likőr tervezett hordószámát jelöli.
A menedzsment célja, hogy a maximális bevételt érje el, azaz maximalizálni kell a z függvényt. A korlátozó feltételekben szereplő adatokat végül is az átlagos becslésekből vették, mert úgy ítélték meg, hogy a pénzügyi háttér közepes kockázatot bír csak ki.
z= 45x1 + 50x2 + 60x3 → max, ahol z jelöli a sörfőzde bevételét.
Az alapanyagokra vonatkozó korlátozások miatt az alábbi relációknak fenn kell állnia:
x1 + 2x2 + 0.5x3 4000,
x1 + x2 + 3x3 2000,
2x1 + x2 + 3x3 5000
x1, x2, x3.
A malátalikör nélkül a termelési terv ugyanezekkel az adatokkal a következő volna:
z = 45x1 + 50x2 → max,
x1 + 2x2 4000,
x1 + x2 2000,
2x1 + x2 5000,
x1, x2.
Ebben a modellben nem számolnak azzal, hogy szofisztikáltabb korlátozásokat állítsanak be a két sörtermék mennyiségére. Be lehetne állítani ugyanis alsó és felső korlátokat is az x1 és x2 mennyiségekre. Az alsó korlát azt fejezné ki, hogy minimum mennyit kellene legyártani, a felső korlát pedig a piac befogadóképességétől függő adat, a piac befogadóképességét, a termék eladhatóságát fejezi ki. Ezeknek a korlátoknak a beállításával természetesen más eredményt kapnánk az optimumra.
Eddig nem végeztek termékszerkezet optimalizálására elemzést, de a termékbővítés kapcsán a jelenlegi termelési tervet is felülvizsgálják: vajon a jelen termelési program a legoptimális a bevétel szempontjából?
Ez a terv egyszerű elemi geometriai módszerekkel megoldható. A korlátozó egyenlőtlenségek ugyanis egy háromszöget határoznak meg az (x1, x2) pozitív síknegyedben:
4.ábra A korlátozó feltételek által meghatározott háromszög tartomány
A z célfüggvény ennek a háromszögnek valamelyik csúcspontjában veheti csak fel a maximumát.
A három csúcspont: (0,0), (2000, 0) és (0, 2000). A z célfüggvény közülük a harmadik pontban veszi fel a legnagyobb értéket, ami z max= 502000=10 000 (euró).
Két termék esetén a gyár akkor tudja a legnagyobb nyereséget produkálni, ha csak barnasört állít elő az alapanyagokból! Ez meglepte a vizsgálatot végzőket, hiszen eddig spontán más termelési terv alapján dolgoztak!
Eztán kiszámolták mi lenne az eredmény, ha a maláta-likőrrel is számolnának!
Most nem lehet kétdimenzióban szemléltetni a z költségfüggvény értelmezési tartományát, amit a korlátozó feltételek határoznak meg, hiszen a (x1, x2, x3) tér pozitív nyolcadába esik a lehetséges megoldások halmaza. Ez egy síkok határolta háromdimenziós konvex alakzat, amelynek valamelyik csúcspontjában léphet csak fel a z függvény maximuma. Esetünkben az értelmezési tartományt 6 sík határolja. A síkhármasok száma 
, mindegyik meghatároz meghatároz három csúcsot, tehát összesen 60 csúcs képződik. Tehát a konvex poliéderben, ami teljes egészében a pozitív térnyolcadban van, összesen csúcspontja van. Ezek valamelyikében van a z-ben maximumot képező csúcs is! A 60 db csúcspont meghatározása fáradtságos, és nem is „elegáns” megoldás.
Az optimális csúcspont megkereséséhez a szimplex-módszert használjuk. Az origóból kiindulva (ahol a z értéke értelemszerűen 0), olyan pontra térünk át minden lépésben, amelyben a z értéke garantáltan növekszik. Az algoritmus mindegyik lépésében nő z értéke. Véges sok lépésben (jóval kevesebb, mint 60 lépés) eljutunk így a maximumot szolgáltató csúcshoz.
Esetünkben a konkrét számítások elemi báziscserékkel a történik.
A bázismegoldások mindegyikének előállítása, majd az optimális bázismegoldás kiválasztása kézenfekvőnek tűnik, de a bázismegoldások száma (esetünkben ez „csak” 60) a gyakorlati esetekben elfogadhatatlanul magas számítástechnikai teljesítményt igényel. A szimplex módszer egy hatékony, költségtakarékos metódus az optimális bázismegoldás kiválasztására.
A Danzig által kidolgozott szimplex módszer a normálfeladat egy bázismegoldásából, rendszerint az x=0 megoldásból kiindulva iteratív lépésenként egy olyan másik bázismegoldásra lép, amelyhez tartozó célfüggvény-érték magasabb, mint az előző. Az optimális megoldást akkor találtuk meg, ha a módszer magasabb célfüggvény-értékű további bázismegoldást nem kínál fel. A szimplex módszer egyes lépéseit az induló táblázatból egymás után generált táblázatokon keresztül követhetjük. A táblázatokat szimplex táblázatnak is nevezhetjük.
A szimplex módszer lépései
- Az induló táblázatból bázismegoldást olvasunk le. Megállapítjuk a célfüggvény értékét.
- Ha lehetséges, akkor a célfüggvény értékének növelése érdekében az A együttható mátrix további oszlopvektorát bevonjuk a bázisba.
- A báziscserét követően másik bázismegoldást olvasunk le. Megállapítjuk a célfüggvény értékét.
- Ha a célfüggvény értéke nem növelhető, akkor megtaláltuk az optimális megoldást.
Adatainkból felírjuk a kiindulási táblázatot, majd végrehajtjuk az elemi báziscseréket. A táblázatokban pirossal jelöljük az egyes lépésekhez tartozó ún. generáló elemet.
| x1 | x2 | x3 | b | |
| u1 | 1 | 2 | 0,5 | 4000 |
| u2 | 1 | 1 | 3 | 2000 |
| u3 | 2 | 1 | 3 | 5000 |
| -z | 45 | 50 | 60 | 0 |
| u2 | x2 | x3 | b | |
| u1 | -1 | 1 | -2,5 | 2000 |
| x1 u2 | 1 | 1 | 3 | 2000 |
| u3 | -2 | 1 | -3 | 1000 |
| -z | -45 | 5 | -75 | -90000 |
| u2 | u1 | x3 | b | |
| x2 u1 | -1 | 1 | -2,5 | 2000 |
| x1 u2 | 2 | -1 | 5,5 | 0 |
| u3 | -3 | 1 | 5,5 | 3000 |
| -z | -40 | -5 | -62,5 | -100000 |
A harmadik lépésben kialakul a végeredmény: az optimális termelési programot ebben az esetben is az adja, ha a sörfőzde kizárólag barna sört gyárt a rendelkezésre álló anyagforrásokból! A maláta-likör termék bevezetése egyelőre nem lenne gazdaságos! A gyárnak fel kell töltenie a raktárait nyersanyagokkal, hogy az új termék gyártása kifizetődő lehessen. Természetesen, ha a receptek nem változnak, de az alapanyagkészlet, vagy a termékárak megváltoznának, a tárgyalthoz hasonló módszerrel más optimális termelési terv is kijöhet.
Célszerű lenne nem az általános x1, x2, x3 kiinduló feltételből elindulni, hanem a mennyiségeket minimális és maximális korlátokkal szabályozni:
Azonban a szabályozó alsó és felső korlátokat gondos és alapos kutatás kell, hogy megelőzze. Piackutatási és közgazdasági módszerekkel kell ezeket majd meghatározni.
M2S4 – DUCK sör értékelése
Értékelés írásához be kell jelentkezni.